博文

目前显示的是 2019的博文

线性代数知识总结(二)

继上一次线性代数知识总结之后,剩下的内容也不多了. 本文主要针对线性方程组,特征值与特征向量以及二次型这三章,概念定义比起前边三章会相对少一些,但计算会比较复杂,需要好好掌握. 四、线性方程组 1. 线性方程组解的性质 (1) 齐次线性方程组解的性质
  ①若$\xi_{1} \, , \xi_{2}$为$Ax = 0$的解,则$\xi_{1} + \xi_{2}$也是该方程组的解.
  ②若$\xi_{1}$为$Ax = 0$的解,$k$为实数,则$k\xi_{1}$也是$Ax = 0$的解. (2) 非齐次线性方程组解的性质
  ①设$\eta_{1} \, , \eta_{2}$是$Ax = b$的解,则$\eta_{1} - \eta_{2}$是$Ax = 0$的解.
  ②设$\eta$是$Ax = b$的解,$\xi$为$Ax = 0$的解,则$\eta + \xi$是$Ax = b$的解.
  ③设$\eta^{* }$是$Ax = b$的一个解,$\xi$是$Ax = 0$的通解,则$x = \eta^{* }+\xi$是$Ax = b$的通解. 2. 齐次线性方程组有非零解的条件
  ①当$r(A) = n$时,方程组$Ax = 0$只有零解,此时解空间只含有一个零向量.
  ②当$r(A) = r < n$时,方程组$Ax = 0$必有含$n-r$个解向量的基础解系$\eta_{1}$, $\eta_{2}$, $\cdots$, $\eta_{n-r}$,此时方程组的任一解可表示为$x=c_{1}\eta_{1}+c_{2}\eta_{2}+\cdots+c_{n-r}\eta_{n-r}$,其中$c_{1}$,$c_{2}$,$\cdots$,$c_{n-r}$为任意实数 3. 非齐次线性方程组的有解条件
定理 $Ax = b$有解的充分必要条件是它的系数矩阵$A$与增广矩阵$B$的秩相等,当$r(A) = r(B) = n$(未知量个数)时有唯一解,当$r(A) = r(B) < n$时有无穷多组解,此时通解的结构为:$Ax = b$的一个特解$+ Ax = 0$的通解.
  下面四个命题是等价的(设$A$的列向量组为$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$\cdots$, $\alp…

线性代数知识总结 (一)

继前面将高等数学总结的差不多了,剩下的一些其他部分等另外再统一一起补充。本文主要来总结线性代数的前半部分,即行列式,矩阵和向量。公式倒不是很多,主要是有很多的定理,性质,和复杂繁琐的计算,需要好好理顺一下。
一、行列式 1. 行列式的定义     n阶行列式
        $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_{1},j_{2} \cdots j_{n}}(-1)^{\tau (j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$,

其中$j_{1}j_{2}\cdots j_{n}$是$1,2,\cdots,n$的一个排列,$\sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}$表示对所有的n级排列求和. 2. 行列式的展开 (1). 余子式和代数余子式     在n阶行列式$D=|a_{ij}|$中划去元素$a_{ij}$所在的第i行与第j列,剩下的元素按原来的排法构成一个n-1阶行列式,称为元素$a_{ij}$的余子式,记为$M_{ij}$,称$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$为元素$a_{ij}$的代数余子式. (2). 行列式按行(列)展开     $D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}(1 \leqslant i \leqslant n)$,
    $D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}(1 \leqslant i \leqslant n)$,
    $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ik} = a_{1j}A_{1k}+a_{2j}A_{2k}+\cdots+a_{nj}A_{nk} = \…

高等数学知识总结 (一)

倒腾了这么久,可算把数学公式给安排上啦,markdown的数学公式可是优势呀,比Latex轻,渲染起来就跟书里一样,O(∩_∩)O哈哈~,可以来写一下公式的总结啦~\(≧▽≦)/~啦啦啦。本文内容可能比较多,并不是全部都总结出来,而是把不常用的和难以记住的总结出来,将持续更新。
一.初等代数 1. 乘法公式与因式分解    $a^{3} \pm b^{3} = ( a \pm b ) ( a^{2} \mp ab + b^{2} )$
 $ ( a \pm b )^{3} = a^{3} \pm 3ab^{2} + 3ab^{2} \pm b^{3}$  引申:$a^{n} - b^{n} = ( a - b ) ( a^{n-1} + a^{n-2}b+ \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1} )$ 2. 基本不等式     $\frac{a_{1}+a_{2}+ \cdots + a_{n}}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_{1}a_{2} \cdots a_{n}}$
 $ | a | - | b | \leqslant | | a | - | b | | \leqslant | a \pm b | \leqslant | a | + | b |$ 3. 对数$log_{a}N \left ( a > 0, a \neq 1, N > 0 \right) $     $N = a^{log_{a}N}$,更常用$N = e^{lnN}$
 换底公式:$log_{a}M = \frac{log_{b}M}{log_{b}a}$ 4. 数列 (1). 等差数列     通项$a_{n} = a_{1} + (n-1)d $
 前$n$项和$S_{n} = \frac{n(a_{1}+a_{n})}{2} = na_{1} + \frac{n(n-1)d}{2}$
 设$a,b,c$成等差数列,则等差中项$b = \frac{1}{2}( a + c )$ (2). 等比数列     设$a_{1}$为首项,$q$为公比,$a_{n}$为通项,则
 通项$a_{n} = a_{1}q^{n-1}$
 前$n$项和$S_{n} = \frac…

GoLang Learning Road

图片