线性代数知识总结 (一)

  继前面将高等数学总结的差不多了,剩下的一些其他部分等另外再统一一起补充。本文主要来总结线性代数的前半部分,即行列式,矩阵和向量。公式倒不是很多,主要是有很多的定理,性质,和复杂繁琐的计算,需要好好理顺一下。

一、行列式

1. 行列式的定义

    n阶行列式
        $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_{1},j_{2} \cdots j_{n}}(-1)^{\tau (j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$,

其中$j_{1}j_{2}\cdots j_{n}$是$1,2,\cdots,n$的一个排列,$\sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}$表示对所有的n级排列求和.

2. 行列式的展开

(1). 余子式和代数余子式
    在n阶行列式$D=|a_{ij}|$中划去元素$a_{ij}$所在的第i行与第j列,剩下的元素按原来的排法构成一个n-1阶行列式,称为元素$a_{ij}$的余子式,记为$M_{ij}$,称$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$为元素$a_{ij}$的代数余子式.
(2). 行列式按行(列)展开
    $D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}(1 \leqslant i \leqslant n)$,
    $D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}(1 \leqslant i \leqslant n)$,
    $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ik} = a_{1j}A_{1k}+a_{2j}A_{2k}+\cdots+a_{nj}A_{nk} = \begin{cases} & D,j=k \\ & 0, j \neq k \end{cases}$

3. 行列式的性质

    ①$D=D^{T}$, $D^{T}$为行列式$D$的转置行列式.
    ②互换行列式的两行(列),行列式变号.
    ③行列式某一行(列)中所有元素都乘以数$k$,等于$k$乘以此行列式.
    ④若行列式某两行(列)元素成比例,则行列式等于零.
    ⑤若行列式某一行(列)的元素都是两数之和,则行列式等于两个行列式之和.

$\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}+a_{i1}^{'} & \cdots & a_{ij}+a_{ij}^{'} & \cdots & a_{in}+a_{in}^{'} \\ \vdots& & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots& & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}^{'} & \cdots & a_{ij}^{'} & \cdots & a_{in}^{'} \\ \vdots& & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} $.

    ⑥把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应元素上去,行列式不变.

4. 拉普拉斯定理与范德蒙行列式

    拉普拉斯定理 在n阶行列式$D$中任意取定k行($1 \leqslant k \leqslant n$),由着k行元素组成的所有k阶子式与它们的代数余子式乘积之和等于行列式$D$,即

$D = M_{1}A_{1}+ M_{2}A_{2} + \cdots + M_{s}A_{s}$( $s=C_{n}^{k}$),其中$A_{i}$是子式$M_{i}$( $i=1,2,\cdots,s$)对应的代数余子式.

    范德蒙行列式

$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n}\\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & \cdots & a_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1}^{n-2} & a_{2}^{n-2} & a_{3}^{n-2} & \cdots & a_{n}^{n-2}\\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & a_{3}^{n-1} & \cdots & a_{n}^{n-1} \end{vmatrix}$.

称为n阶范德蒙行列式. n阶范德蒙行列式等于$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$这n个数的所有可能的差$a_{i}-a_{j}$($1 \leqslant j < i \leqslant n$)的乘积,即$D_{n} = \prod_{1 \leqslant j < i \leqslant n}(a_{i} - a_{j})$.

二、矩阵

1. 矩阵的运算

(1). 矩阵的加减
    $A+B = (a_{ij} + b_{ij} )_{m \times n}$
      $= \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1}+b_{m11} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}$.
(2). 矩阵的数乘
    $kA = (ka_{ij}) = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n}\\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix}$
(3). 矩阵的乘积
    设$A=(a_{ij})_{m \times s} , B = (b_{ij})_{s \times n}$,矩阵$A$与矩阵$B$的乘积$AB=(c_{ij})_{m \times n}$,其中$c_{ij} = \sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}$($i=1, 2, \cdots, m$; $j = 1,2,\cdots, n$).
(4). 矩阵转置的性质
    ①$(A^{T})^{T} = A$.
    ②$(A+B)^{T} = A^{T}+B^{T}$.
    ③$(kA)^{T} = kA^{T}$.
    ④$(AB)^{T} = B^{T}A^{T}$.
(5). 矩阵的逆
    定义 n阶矩阵$A$可逆的充要条件是其行列式$|A| \neq 0$.当$A$可逆时,$A^{-1} = \frac{A^{* }}{|A|}$,$A$的伴随矩阵

$A^{*} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}$.

    性质 ①若$A$可逆,则$A^{-1}$也可逆,且$(A^{-1})^{-1} = A$.
    ②若$A$可逆,$k \neq 0$,则$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$.
    ③两个同阶可逆矩阵$A$,$B$的乘积是可逆矩阵,且$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
    ④若$A$可逆,则$A^{T}$也可逆,且$(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}$.
    ⑤若$A$可逆,则$|A^{-1}| = |A|^{-1}$.
(6). 伴随矩阵$A^{* }$的性质
    ①$AA^{* } = A^{* }A = |A|E$.
    ②$|A^{* }| = |A|^{n-1}$.
    ③$(A^{* })^{* } = |A|^{n-2}A (n \geqslant 3)$.
    ④$(AB)^{* } = B^{* }A^{* }$.
    ⑤$(kA^{-1})^{* } = k^{n-1}\frac{A}{|A|}$.
    ⑥若$|A| \neq 0$,则$(A^{* })^{-1} = (A^{-1})^{* }$;若$A$为正交矩阵,则$A^{* }$也为正交矩阵.
    ⑦若$A$为正定矩阵,则$A^{* }$也为正定矩阵,
$r(A^{*}) = \begin{cases} n & \text{ 当 } r(A) = n \text{时}, \\ 1 & \text{ 当 } r(A) = n - 1 \text{时}, \\ 0 & \text{ 当 } r(A) < n - 1 \text{时}. \end{cases}$

2. 矩阵的初等变换及初等矩阵

(1). 矩阵的初等变换
    ①对调两行(列);
    ②以数$k \neq 0$乘某行(列)中的所有元素;
    ③把某行(列)所有元素的$k$倍加到另一行(列)对应元素上.
(2). 矩阵的等价
    定义 矩阵$A$若经有限次初等变换变成矩阵$B$,称$A$与$B$等价.
    性质 ①若$A$与$B$等价,则$r(A) = r(B)$.
    ②$A$与$B$等价$\Leftrightarrow $存在$m$阶可逆矩阵$P$及$n$阶可逆矩阵$Q$,使$PAQ=B$.
(3). 初等矩阵
    由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,三种初等变换分别对应三种初等矩阵.

    $E(i,j) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & 0 & \cdots & 1 & & \\ & & & & \ddots & & & \\ & & & 1 & \cdots & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1 \end{bmatrix}$

    $E(i,j)$由交换$E$的第i行与第j行或第i列与第j列所得.

    $E(i(k)) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & k & & & & \\ & & & & \ddots & & & \\ & & & & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1 \end{bmatrix}$

    $E(i(k))$是以数$k(k \neq 0)$乘以$E$的第i行或第i列而得.

    $E(i+j(k)) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & 1 & & & & \\ & & & & \ddots & & & \\ & & & k & \cdots & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1 \end{bmatrix}$

    $E(i+j(k))$是将$E$的第j行的k倍加到第i行或第j列的k倍加到第i列而得.
注:给一个矩阵进行初等变换相当于左乘初等矩阵,给一个矩阵进行初等变换相当于右乘初等矩阵,可称为"左行右列".

3. 矩阵的秩

    定义 设$A$为$m \times n$矩阵,如果存在$A$的$r$阶子式不为零,而任何$r+1$阶子式(如果存在的话)都为零,则称数$r$为矩阵$A$的秩,记为$r(A)$(或$R(A)$). 且规定零矩阵的秩等于零.
    性质
      ①若$A$中由某个$s$阶子式不为零,则$r(A) \geqslant s$.
      ②若$A$中所有$t$阶子式全为0,则$r(A) < t$.
      ③若$A$为$m \times n$矩阵,则有$0 \leqslant r(A) \leqslant min \left \{ m, n \right \}$.
      ④$r(A) = r(A^{T})$
      ⑤$max \left \{ r(A), r(B) \right \} \leqslant r(A,B) \leqslant r(A) + r(B)$.
      ⑥$r(A+B) \leqslant r(A) + r(B)$.
      ⑦$r(AB) \leqslant min \left \{r(A), r(B) \right \}$
      ⑧若$A_{m \times n}B_{n \times t} = O$,则$r(A) + r(B) \leqslant n$.
      若$r(A) = min \left \{ m, n \right \}$,则称矩阵$A$为满秩矩阵,否则称为降秩矩阵.

4. 分块矩阵

(1). 分块矩阵的概念
  将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵,每个小矩阵称为$A$的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
  注:矩阵的分块由多种方式,可根据具体需要而定,一个矩阵也可看作以$m \times n$个元素为1阶子块的分块矩阵.
(2). 分块矩阵的运算
  分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似,分块时要注意,运算的两矩阵按块能运算,并且参与运算的子块也能运算,即内外部都能运算.
  ①$A=\begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1t}\\ \vdots & & \vdots \\ A_{s1} & \cdots & A_{st} \end{pmatrix}$,$B=\begin{pmatrix} B_{11} & \cdots & B_{1t}\\ \vdots & & \vdots \\ B_{s1} & \cdots & B_{st} \end{pmatrix}$,其中$A_{ij}$与$B_{ij}$的行数相同、列数相同,则

  $A^{T} = \begin{pmatrix} A_{11}^{T} & \cdots & A_{s1}^{T}\\ \vdots & & \vdots \\ A_{1t}^{T} & \cdots & A_{st}^{T} \end{pmatrix} , \, kA = \begin{pmatrix} kA_{11} & \cdots & kA_{1t}\\ \vdots & & \vdots \\ kA_{s1} & \cdots & kA_{st} \end{pmatrix}, \, A+B=\begin{pmatrix} A_{11}+B_{11} & \cdots & A_{1t}+B_{1t} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s1}+B_{s1} & \cdots & A_{st}+B_{st} \end{pmatrix}.$

  ②若$A=\begin{pmatrix} A_{1} & & & O \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{s} \end{pmatrix}$,则当$|A_{i}| \neq 0(i=1,2,\cdots,s)$时,则$|A| \neq 0$,且$|A| = |A_{1}| \cdot |A_{2}| \cdot \cdots \cdot |A_{s}|, \, A^{-1}=\begin{pmatrix} A_{1}^{-1} & & & O \\ & A_{2}^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{s}^{-1} \end{pmatrix}$.

  ③$\begin{pmatrix} O & A\\ B & O \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1}\\ A^{-1} & O \end{pmatrix}$.

  $\begin{pmatrix} A & O\\ C & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O\\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix}$.

  $\begin{pmatrix} A & C\\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\\ O & B^{-1} \end{pmatrix}$.

5. 一些特殊矩阵

  形如$\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0& 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}$的方阵称为对角矩阵(或对角阵),其中$\lambda_{1}$,$\lambda_{2}$,$\cdots$, $\lambda_{n}$不全为零.
  设$A$为n阶方阵:
  如果$A^{T} = A$,则$A$为对称矩阵;
  如果$A^{T} = -A$,则$A$为反对称矩阵;
  如果$A^{2} = A$,则$A$为幂等矩阵;
  如果$A^{2} = E$,则$A$为对合矩阵;
  如果$AA^{T} = A^{T}A= E$,则$A$为正交矩阵.

三、向量

1. 线性组合与线性表示

①. 线性组合
    给定向量组A: $\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$...$,$\alpha_{s}$,对于任意一组实数          $k_{1}$,$k_{2}$,$...$,$k_{s}$,表达式$k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{s}\alpha_{s}$为向量组A的一个线性组合,$k_{1}$,$k_{2}$,$...$,$k_{s}$,称为这个线性组合的系数
②. 线性表示
    给定向量组A:$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$\cdots$,$\alpha_{s}$,和向量$\beta$,若存在一组数$k_{1}$,$k_{2}$,$...$,$k_{s}$,使$\beta = k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{s}\alpha_{s}$,则称向量$\beta$是向量组A的线性组合,又称向量$\beta$能由向量组A线性表示. 若向量组B中任一向量均可由向量组A线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示.若向量组B能由向量组A线性表示,即$r_{B} \leqslant r_{A}$.
③. 向量组的等价
    若向量组A与向量组B能相互线性表示,称两向量组等价,向量组A与向量组B等价$\Leftrightarrow r(A) = r(B) = r(A,B)$,其中$A$,$B$是向量组A,B所构成的矩阵.
注:(1)$\beta$能由向量组$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$\cdots$,$\alpha_{s}$唯一线性表示的充要条件是线性方程组$\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\cdots+\alpha_{s}x_{s} = \beta$有唯一解;
       (2)$\beta$能由向量组$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$...$,$\alpha_{s}$线性表示但表示不唯一的充要条件是线性方程组$\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\cdots+\alpha_{s}x_{s} = \beta$有无穷多解;
  (3)$\beta$不能由向量组$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$...$,$\alpha_{s}$线性表示的充要条件是线性方程组$\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\cdots+\alpha_{s}x_{s} = \beta$无解.

2. 线性相关与线性无关

    定义 给定向量组A:$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$...$,$\alpha_{s}$,如果存在不全为零的数$k_{1}$,$k_{2}$,$\cdots$,$k_{s}$,使得
$k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{s}\alpha_{s} = 0$.
则称向量组$A$线性相关,否则称线性无关,即当且仅当$k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{s}=0$时,上式才成立,则向量组$A$线性无关.
    性质 ①向量组$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$\cdots$,$\alpha_{s}(s \geqslant 2)$线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示.
               ②设$\alpha_{j} = (a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{nj})^{T}$($j = 1,2,\cdots,s$),则向量组$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$\cdots$,$\alpha_{s}$线性相关的充要条件是:矩阵$A=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s})$的秩小于向量的个数s.
          ③n个n维向量$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$\cdots$,$\alpha_{n}$线性无关(或线性相关$\Leftrightarrow $矩阵$A=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})$的秩等于(小于)向量的个数n$\Leftrightarrow |A| \neq 0 (|A| = 0)$.
          ④当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,此向量组必线性相关.
          ⑤如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关,则整个向量组线性相关.
          ⑥线性无关的向量组中的任一部分组皆线性无关.
          ⑦若向量组$\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s},\beta$线性相关,而向量组$\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s}$线性无关,则向量组$\beta$可由$\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s}$线性表示且表示法唯一.

3. 向量组的极大无关组与向量组的秩

①. 向量组的极大线性无关组
    $\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$\cdots$,$\alpha_{r}$是向量组$T$的部分向量组,如果它满足
        i)$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$\cdots$,$\alpha_{r}$线性无关;
        ii)$\forall \alpha \in T$,总有$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$\cdots$,$\alpha_{r}$,$\alpha$线性相关;
则称向量组$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$\cdots$,$\alpha_{r}$是向量组$T$的一个极大线性无关组,简称极大无关组.
②. 向量组的秩
    向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.
注:
    (1)只含零向量的向量组的秩为0.
    (2)如果$T$线性无关,则极大无关组即它本身,此时,向量组所含向量个数等于它的秩.

4. 向量空间

(1). 向量空间[^1]
(2). 向量的内积与正交化
    定义1 $n$维向量空间$R^{n}$中任两个向量$\alpha = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})^{T}$,$\beta = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n})^{T}$的内积定义为($\alpha$,$\beta$) = $\alpha^{T}\beta = \beta^{T}\alpha = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n}$,并称定义了内积的向量空间$R^{n}$为欧氏空间.
    内积的性质
      ①($\alpha$,$\beta$) = ($\beta$,$\alpha$). (交换性)
      ②($k\alpha$,$\beta$) = k($\alpha$,$\beta$) = ($\alpha$, k$\beta$),k为数.
      ③($\alpha+\beta$,$\gamma$) = ($\alpha$,$\gamma$)+($\beta$,$\gamma$)或($\alpha$,$\beta+\gamma$) = ($\alpha$,$\beta$)+($\alpha$,$\gamma$).
      ④($\alpha$,$\alpha$) $\geqslant 0$,且($\alpha$,$\alpha$) = 0当且仅当$\alpha = 0$.
    定义2 设$\alpha = (a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})^{T}$,
$| \alpha | = \sqrt{(\alpha, \alpha)} = \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+ \cdots + a_{n}^{2}}$,称向量$\alpha$的长度,长度为1的向量称为单位向量.
    定义3 若($\alpha$,$\beta$) = 0,称$\alpha$与$\beta$正交,记$\alpha $⊥$\beta$.
    定理 设$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$为正交向量组,则$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$是线性无关的.
    施密特正交化方法 设$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$是线性无关的向量组,寻找一个标准正交向量组$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{r}$使其与 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$等价,其作法分两步:
      i)正交化
        $\beta_{1} = \alpha_{1}$, $\beta_{2} = \alpha_{2} - \frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}$,
$\beta_{3} = \alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}$,
$\cdots \cdots \cdots \cdots $
$\beta_{r} = \alpha_{r} - \frac{(\alpha_{r},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{r},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} - \cdots - \frac{(\alpha_{r},\beta_{r-1})}{(\beta_{r-1},\beta_{r-1})}\beta_{r-1}$.
      ii)单位化(规范化)    
        取$\varepsilon_{1} = \frac{\beta_{1}}{|\beta_{1} |}$,$\varepsilon_{2} = \frac{\beta_{2}}{|\beta_{2} |}$, $\cdots$, $\varepsilon_{r} = \frac{\beta_{r}}{|\beta_{r} |}$

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