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线性代数知识总结(二)

继上一次线性代数知识总结之后,剩下的内容也不多了. 本文主要针对线性方程组,特征值与特征向量以及二次型这三章,概念定义比起前边三章会相对少一些,但计算会比较复杂,需要好好掌握. 四、线性方程组 1. 线性方程组解的性质 (1) 齐次线性方程组解的性质
  ①若$\xi_{1} \, , \xi_{2}$为$Ax = 0$的解,则$\xi_{1} + \xi_{2}$也是该方程组的解.
  ②若$\xi_{1}$为$Ax = 0$的解,$k$为实数,则$k\xi_{1}$也是$Ax = 0$的解. (2) 非齐次线性方程组解的性质
  ①设$\eta_{1} \, , \eta_{2}$是$Ax = b$的解,则$\eta_{1} - \eta_{2}$是$Ax = 0$的解.
  ②设$\eta$是$Ax = b$的解,$\xi$为$Ax = 0$的解,则$\eta + \xi$是$Ax = b$的解.
  ③设$\eta^{* }$是$Ax = b$的一个解,$\xi$是$Ax = 0$的通解,则$x = \eta^{* }+\xi$是$Ax = b$的通解. 2. 齐次线性方程组有非零解的条件
  ①当$r(A) = n$时,方程组$Ax = 0$只有零解,此时解空间只含有一个零向量.
  ②当$r(A) = r < n$时,方程组$Ax = 0$必有含$n-r$个解向量的基础解系$\eta_{1}$, $\eta_{2}$, $\cdots$, $\eta_{n-r}$,此时方程组的任一解可表示为$x=c_{1}\eta_{1}+c_{2}\eta_{2}+\cdots+c_{n-r}\eta_{n-r}$,其中$c_{1}$,$c_{2}$,$\cdots$,$c_{n-r}$为任意实数 3. 非齐次线性方程组的有解条件
定理 $Ax = b$有解的充分必要条件是它的系数矩阵$A$与增广矩阵$B$的秩相等,当$r(A) = r(B) = n$(未知量个数)时有唯一解,当$r(A) = r(B) < n$时有无穷多组解,此时通解的结构为:$Ax = b$的一个特解$+ Ax = 0$的通解.
  下面四个命题是等价的(设$A$的列向量组为$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$\cdots$, $\alp…